3.5　平均值与标准差的算法

由于算术平均值与标准差在数据处理中占有特殊的地位，所以在实际运算中碰到计算算术平均值与标准差的机会特别多。下面给出平均值与标准差的几种算法。

1.直接公式法

这种方法就是按算术平均值的原始定义式和标准差的原始定义式计算。

【例3-1】　分析溶渣中二氧化硅的含量。4次测定值分别为28.5、28.6、28.3、28.2，求测定结果的平均值与标准差。

解：　由式（2-1）得

按式（2-14）计算标准差

2.计算标准差的导出公式法

用直接公式法需要先计算出算术平均值，然后才能计算出标准差。实际上，可以导出

或者写成

相应地，由式（2-13）可以导出

或者写成

通常，为了提高计算的精度，避免由于计算平均值带来的舍入误差，在计算标准差S时，可采用式（3-20）。这种方法称为导出公式法。

【例3-2】　用例3-1的数据，按式（3-20）计算标准差。

解：　

由式（3-20）得

3.平均值与标准差的简易算法

利用式（3-20）计算标准差还是比较麻烦的，特别是当原始数据有效数字位数很多时，手算容易出错。一种简便的方法是将原始数据按式（3-16）进行变换，计算出变换后数据的平均值和标准差，最后按式（3-17）和式（3-18）分别将平均值和标准差还原。按式（3-16）进行变换，如何选择a和b呢？为使计算简化，选择b应当是接近平均值的一个任意数，或者在这组数据中重复出现最多的那个数。而选择a的原则是使变换后的数据为有效数字最少的整数。计算变换后数据的标准差用式（3-20）。

【例3-3】　测得某污水样的pH如表3-1所示，求这组数据的平均值与标准差。

解：　令b=2.76，a=100，即

变换后的数据及计算部分结果如表3-1所示

由表3-1知

由式（3-20），得

由式（3-18），得

由式（3-17），得

4.平均值与标准差的Excel算法

用Excel计算平均值与标准差是相当简单的，可直接用工作表函数。计算平均值用函数AVERAGE（）（见2.2.2节）；计算标准差用函数STDEV（）（见2.3节）。例如，用Excel计算例3-3数据的平均值与标准差：

在一个工作表的B2∶B11单元格区域输入原始数据2.71，2.76，……，2.74；接着操作C2∶=AVERAGE（B2∶B11），C3∶=STDEV（B2∶B11），分别显示结果为2.784和0.0306。